Producto vectorial de dos vectores, fórmulas y propiedades.

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Qué es el producto vectorial de dos vectores.

Sé que producto vectorial fórmula ha sido tu búsqueda en internet. Pero antes de ello vamos a entender un poco de que se trata esta operación entre vectores.

El producto vectorial de dos vectores es una operación matemática que definimos entre dos vectores, cuyo resultado es un vector perpendicular a los dos vectores operados. 

El sentido del vector obtenido es el de un sacacorchos para diestros que gira según el ángulo más pequeño del primer vector que operamos al segundo.

Evidentemente, este vector obtenido tiene un módulo, que aprenderemos a calcular a lo largo de esta entrada.

La notación del producto vectorial de dos vectores, u y v, es u x v, o también u ^ v

Así pues, lo importante del producto vectorial es lo siguiente: cuando multiplicamos vectorialmente dos magnitudes vectoriales el resultado es una magnitud vectorial cuya dirección es perpendicular a los dos vectores que multiplicamos. Observa la figura adjunta, extraída de la wikipedia, para visualizarlo, ¡o mira el video!.

producto vectorial de dos vectores representación gráfica.

A continuación, iremos desarrollando punto por punto como calcular el producto vectorial de vectores.

Te he preparado unos videos con ejercicios resueltos que ilustren lo que vamos viendo para que puedas entenderlo mejor.

Producto vectorial fórmula o cómo calcularlo.

Teniendo claro el punto anterior ahora se trata de ver cómo calcular el producto vectorial, o como vosotros diríais, cuál es la fórmula del producto vectorial.

Para hallar el producto vectorial de dos vectores hay que utilizar una herramienta propia del cálculo matricial, los determinantes.

Si estás en 1º de bachillerato, esta parte todavía no la podrás realizar así, pero al final de este apartado verás la forma de calcular el módulo del vector y de deducir su dirección y sentido. Ve a los subapartados finales de este apartado y sáltate lo que explicaré a continuación.

Para los que ya habéis visto el tema de matrices y determinantes, sea en bachillerato o en la universidad lo que viene os será fácil de entender.

Además, esta forma en que lo haremos os dará directamente el vector producto vectorial y, por tanto, ya sabréis su dirección y sentido, pudiendo calcular su módulo a partir de sus componentes.

Venga, vamos al lío.

Para calcular el producto vectorial de dos vectores, u x v, hemos de realizar el determinante formado por los vectores fila que vienen dados por: 

a) los vectores unitarios en la dirección de los ejes i, j, k situados en la primera fila.

b) las componentes del vector u situadas en la segunda fila.

c) las componentes del vector v situadas en la tercera fila.

Esto debe hacerse en este orden, ya que, si no, el resultado queda alterado.

Así, la fórmula quedaría como:

formula del producto vectorial de dos vectores usando determinante

Obviamente esto no es una fórmula que hayas de memorizar tal cual, sino que has de saber desarrollar un determinante. Es decir, la fórmula en sí serían simplemente los dos primeros miembros de la igualdad. Veámoslo ahora con un ejemplo numérico.

ejemplo de calculo de producto vectorial con determinantes

Como hemos dicho antes, conociendo las componentes del vector podemos representarlo gráficamente, por lo que su dirección y sentido están perfectamente determinados.

Además podemos calcular los ángulos que forman con cada uno de los ejes aplicando las fórmulas correspondientes.

También es posible calcular el módulo del vector obtenido a partir de sus componentes como hacemos habitualmente:

formula del modulo de un vector

En el caso del ejemplo numérico que habíamos propuesto el módulo del vector obtenido, y por tanto el valor de la magnitud calculada sería.

modulo del producto vectorial del ejemplo 1

El producto vectorial con vectores del plano.

Supongo que te has dado cuenta de que he desarrollado el producto vectorial con vectores de tres componentes, es decir, vectores en el espacio. 

Esto es usual hacerlo así por que, al ser el resultado de la operación realizada un vector perpendicular a los dos operados, implícitamente, estamos trabajando en el espacio.

Sin embargo, en unos casos por comodidad, y en otros por que los alumnos no tienen todavía la pericia necesaria, en determinados momentos se trabaja con vectores de dos componentes y se realiza el producto vectorial igualmente.

¿Cómo es posible?, si hemos visto que en la fórmula de cálculo utilizamos un determinante de 3×3.

Tranquilidad, todo tiene su explicación. Vamos a verlo a continuación.

Supongamos que trabajando con vectores del plano, es decir de dos componentes, queremos multiplicar los vectores u = ux·i + uy·j   y v= vx·i + vy·j 

Para realizar el producto vectorial consideraremos a los vectores del plano como vectores del espacio con tercera componente nula. O sea, multiplicaremos como si tuvieramos los vectores:

u = ux·i + uy·j + 0·k

v= vx·i + vy·j + 0·k

El resultado será entonces el siguiente:

producto vectorial de dos vectores del plano, calculo por determinantes

Como podemos observar, en este caso, el resultado de la operación solo tiene componente k, que es perpendicular al plano XY, al cual pertenecían los vectores operados. Es decir el producto vectorial es perpendicular a los vectores operados, como debe de ser.

Del mismo modo, el sentido del vector resultante quedará perfectamente definido, ya que, si el número que multiplica a k es positivo su sentido será hacia arriba, mientras que si es negativo será hacia abajo.

También podremos calcular del modo habitual el módulo del vector resultante.

Veámoslo con un ejemplo numérico.

4) Multiplicar vectorialmente los vectores u = 2i + 3j y v= 2i + 2j

ejercicio producto vectorial vectores del plano con determinantes

Podemos observar que el producto vectorial obtenido sólo tiene componente k, es decir, es perpendicular al plano que contiene a los vectores u y v. Además, como el signo de la componente es negativo su sentido será descendente.

Calcular el módulo del producto vectorial.

Lo visto hasta el momento es lo que estrictamente es la definición matemática del producto vectorial de dos vectores.

Sin embargo podemos realizar esta operación de modo que calculemos solamente su módulo y deduzcamos por determinado procedimiento su sentido.

Esto es lo que usualmente se enseña en el bachillerato, dado que cuando estudian las magnitudes sobre las que se realizan estas operaciones todavía no tienen las herramientas matemáticas para realizar la operación según su definición.

Efectivamente, el valor del módulo del producto escalar de dos vectores puede calcularse mediante el uso de la siguiente fórmula:

|u^v|= |u|·|v|·sen α

De este modo tan sencillo obtendremos el valor de la magnitud obtenida.

Podemos interpretar geométricamente esta expresión del siguiente modo:

Interpretación geométrica del producto vectorial

A continuación vamos a dar una interpretación geométrica del producto vectorial.

interpretacion geometrica del producto vectorial

Como puedes observar en la figura adjunta, podemos formar un paralelogramo con los dos vectores que estamos multiplicando y las rectas paralelas trazadas por sus extremos.

En este paralelogramo el |v| es igual que la longitud de la base del paralelogramo.

El producto |u|·sen α, equivale a la longitud de la altura perpendicular a dicha base.

Como sabemos el área de un paralelogramo se puede calcular  como el producto de su base por su altura. 

formula para calcular area del paralelogramo con el produto escalar

En consecuencia podemos concluir que el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo que forman.

Por otra parte podemos llegar a la conclusión de que si dos vectores son paralelos, es decir tienen la misma dirección, su producto vectorial es nulo. Esto es de especial relevancia para entender determinados aspectos que te ayudarán a resolver futuros problemas de física, sobre todo en campos como el magnetismo.

Regla de la mano derecha para averiguar el sentido del producto vectorial.

Realizando el producto vectorial de esta manera, sólo obtenemos información de su módulo.

Pero, como hemos dicho, el producto vectorial es un vector. Por tanto, si no conocemos el sentido en el que actúa dicho vector, estaremos perdiendo mucha información relevante sobre el mismo.

Podemos utilizar la regla de la mano derecha para saber cual será el sentido de este vector respecto al plano en el que se encuentran u y v.

Para utilizar dicha regla hemos de cerrar los dedos, excepto el pulgar sobre la palma de la mano, como si estuviéramos cogiendo algo. Al mismo tiempo dejamos el dedo pulgar extendido.

A continuación colocamos la mano sobre el plano que contiene a los dos vectores, de manera que los nudillo queden sobre el primer vector que multiplicamos, y las yemas vayan en dirección del segundo vector.

El producto vectorial llevará el sentido respecto al plano en el que esté apuntando nuestro dedo pulgar en ese momento. Observa las figuras adjuntas para hacerte una idea.

regla mano derecha para hallar sentido producto vectorial

En determinados momentos, la utilización de esta regla por parte de los alumnos para resolver ejercicios de física, da lugar a escenas realmente cómicas según cual sea la disposición de los vectores en el problema. 

Al respecto te aconsejo que en vez de mover de forma incómoda la mano muevas el folio hasta que los vectores estén en una posición que sea más cómoda para ti.

La regla del sacacorchos, una variante de la regla de la mano derecha.

Hay una alternativa a este método, que puede evitar que te descoyuntes el brazo intentando averiguar el sentido del resultado.

Es la regla del sacacorchos, que se podría llamar también la regla del grifo.

Se trata de imaginar que en el origen común de los vectores u y v colocas un sacacorchos para usarlo con la mano derecha o un grifo. 

Entonces haces girar el sacacorchos o el grifo, pero, y esto es muy importante, yendo desde el primer vector que multiplicas hacia el segundo. 

Después solo has de imaginar que haría el sacacorchos (o el grifo en su caso). El producto vectorial avanza en el mismo sentido que lo haría dicho elemento.

Este segundo método es mucho más rápido y efectivo una vez te has acostumbrado a trabajar con él. 

Además, evita confusiones con otros métodos similares que se usan para trabajar con algunas magnitudes de la física.

regla del sacacorchos y sentido de avance del producto vectorial

La regla de los tres dedos, una alternativa muy utilizada.

¿Creías que aquí acababa todo?

¡Pues no! 

Existen al menos otros dos métodos para averiguar el sentido del producto vectorial. Sin embargo, para terminar yo sólo te haré referencia a uno de los dos, ya que se utiliza bastante en el estudio del campo magnético.

Muchos profesores lo llaman también regla de la mano derecha pero yo lo llamo regla de los tres dedos para evitar confusiones. 

Lo que si es cierto es que, tal como te la explicaré, se ha de ejecutar con la mano derecha (aunque yo me he encontrado con casos de profesores que lo enseñan con la mano izquierda).

Este tercer método consiste en hacer «la pistola» con la mano derecha. Es decir, extiendes el pulgar y el índice, como si estuvieras apuntando a alguien con una pistola. Una vez en esta posición extiendes el dedo corazón hasta que forme 90º con el índice.

Entonces, colocas el índice en la dirección y sentido del primer vector que se multiplica y el corazón en los del segundo. 

El sentido de avance el producto vectorial es el que queda indicado por el dedo pulgar, como se muestra en la imagen.

Puedes ver lo que te acabo de explicar en las imágenes de debajo. Observa la diferencia entre realizar la operación v y realizar u

Como puedes ver el resultado obtenido es diferente en cuanto al sentido del vector resultante, por tanto, el producto vectorial de dos vectores no es conmutativo

Regla de los tres dedos para establecer el sentido del producto vectorial

¿Cuál de los tres métodos prefieres?

En realidad los tres cumplen su función. Deberías probarlos todos y quedarte con el que prefieras.

Si me preguntas a mí creo que el más simple de aplicar una vez lo dominas es el de la regla del sacacorchos, pero, para gustos, los colores.

Espero que hayas conseguido entender que es y como se realiza el producto vectorial de dos vectores, por que lo necesitaras para resolver numerosos ejercicios de física próximamente.

Seguimos.

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