Producto escalar de dos vectores, significado físico.

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Qué es el producto escalar de dos vectores.

El producto escalar de dos vectores no es más que una operación que realizamos entre dos vectores que tiene una cierta utilidad, como iremos viendo a lo largo de esta entrada.

Lo primero que debes tener claro a este respecto son tres cosas:

a) No tiene nada que ver con la multiplicación tal como la entiendes para los números reales. Es una operación que usualmente se realiza con matrices, aunque no pasa nada si en este momento no sabes lo que son.

b) Su resultado es un número.

c) No tiene nada que ver con el producto de un vector por un escalar, cuyo resultado es un vector.

Fórmula del producto escalar de vectores

La fórmula del producto escalar de vectores no es única sino que es doble.

Efectivamente, en un espacio euclídeo, es decir, con tres ejes de referencia perpendiculares como al que estamos acostumbrados, el producto escalar se puede definir de dos maneras:

u · v = |u| · |v| · cos α

siendo α el ángulo que separa la dirección de ambos vectores.

O también, siendo los vectores del plano, u=(ux,uy) y v=(vx,vy) el producto vectorial puede calcularse a partir de sus componentes operándolas del siguiente modo:

u · v = ux·vx + uy·vy

Esta última fórmula podría extenderse a vectores en el espacio del siguiente modo:

u · v = ux·vx + uy·vy + uz·vz

Evidentemente el resultado obtenido será el mismo utilicemos una u otra forma de cálculo.

Ejercicios de producto escalar de dos vectores resueltos.

Veamos dos sencillos ejercicios de aplicación que ilustren la aplicación de las fórmulas anteriores.

1) Calcular el producto vectorial de los vectores u = (2, -3, 5) y v = (3, 2, -1)

Como conocemos las componentes de los dos vectores optaremos por aplicar la segunda fórmula vista, es decir calcularemos el producto escalar de dos vectores a partir de sus componentes.

u · v(2, -3, 5) · (3, 2, -1) = 2 · 3+ (-3) · 2 + 5 · (-1) = 6 – 6 -5 = -5

2) Calcular el producto vectorial de los vectores u y v, sabiendo que, |u| = 3, |v| = 2 y  α= 60º.

En este caso aplicaremos la primera fórmula, que nos permite calcularlo a parti de sus módulos y el ángulo que forman.

u · v =  |u| · |v| · cos α = 3 · 2 · cos 60 = 6 · 1/2 = 3

Como puedes ver la aplicación de la fórmula del producto escalar es muy fácil.

Interpretación geométrica. Vector proyección.

La primera fórmula de cálculo que hemos visto, nos permite aproximarnos a la interpretación geométrica del producto escalar.

Efectivamente, como puedes ver en la figura adjunta, si multiplicamos el módulo de v por cos α, esto nos da la longitud del cateto adyacente al ángulo α, que llamamos proyección de v sobre u proyuv.

De este modo, el producto escalar de dos vectores es el producto entre el módulo de un vector y el de la proyección del otro sobre él.

u · v|u|· |proyuv| = |v|· |proyvu|

 Esto nos permite además calcular el módulo de la proyección de un vector sobre el otro sin más que despejarla en la fórmula. Por ejemplo:

|proyuv| = (u·v)/|u| = (u/|u|) · v = uu · v

Siendo  uu el vector unitario en la dirección de u.

En conclusión, podemos calcular el módulo de la proyección de un vector sobre el otro como el producto escalar del unitario del primero por el segundo vector.

Finalmente, para hallar el vector proyección hemos de multiplicar su módulo por el vector unitario del vector sobre el cual proyectamos, del siguiente modo:

proyuv |proyuv|· uu

Puedes ver ejercicios resueltos sobre vector proyección en el video que acompaña esta explicación.

producto escalar de dos vectores, interpretacion grafica y formulas.

Angulo formado por dos vectores.

Calcular el ángulo formado por dos vectores es una de las principales aplicaciones del producto escalar.

Esta aplicación es más matemática que química, pero no está de más, verla en este momento por que sí explica el valor de determinadas magnitudes cuando los vectores son perpendiculares o paralelos entre sí respectivamente.

Si nos volvemos a centrar en la primera de las fórmulas de cálculo, veremos que podemos despejar cos α del siguiente modo:

cos α = (u · v) / (|u| · |v|)

y, por lo tanto: 

α = arccos [(u · v) / (|u| · |v|)]

Esto nos permitirá entonces calcular el ángulo formado por dos vectores de una forma fácil. 

Veámoslo en el siguiente ejemplo.

Producto escalar ejemplo de aplicación a ángulos.

Vamos a ver a continuación un ejemplo de aplicación del producto escalar al cálculo del ángulo formado por dos vectores.

3) Sean los vectores u = (3, -2) y v = (-1, 4). Calcular el ángulo que forman.

Para aplicar la fórmula anterior deberemos conocer tanto el numerador como el denominador de la expresión:

α = arccos [(u · v) / (|u| · |v|)]

Los calcularemos por separado y luego los dividiremos:

u · v = ux·vx + uy·vy = 3 · (-1) + (-2) · 4 = -3 – 8 = -11

|u| = raiz (ux2 + uy2) = raiz (32 + (-2)2) = raiz (9 + 4) = raiz(13)

|v| = raiz (vx2 + vy2) = raiz ((-1)2 + 42) = raiz (1 + 16) = raiz(17)

|u| · |v|= raiz(13) · raiz(17) = raiz (221)

Por lo tanto: 

α = arccos  [-11 / raiz(221)] = 137,7º

Producto escalar de vectores perpendiculares y paralelos.

El producto escalar de vectores perpendiculares es un caso concreto que cabe destacar ya que se puede detectar la perpendicularidad de los vectores a través de esta operación.

Efectivamente, cuando dos vectores son perpendiculares, el ángulo que forman es de 90º. Como es bien sabido, el cos (90) vale 0. Por tanto el producto escalar de dos vectores perpendiculares vendrá dado por:

u · v =  |u| · |v| · cos α = |u| · |v| · 0 = 0

 Así pues podemos decir que, si el producto escalar de dos vectores es 0 estos vectores son perpendiculares.

Esto supone también la sorpresa de que si una magnitud queda definida como el producto escalar de dos magnitudes escalares pueda suceder que al calcularla a partir de dos vectores no nulos el valor de nuestra magnitud si que se anule.

Esto sucede, por ejemplo, y como veremos en su momento, con el trabajo.

Respecto al paralelismo, solo cabe indicar que, dados dos vectores cuyo ángulo de incidencia es variable, el momento en el cual su producto escalar será máximo es cuando ambos sean paralelos.

Esto  es así porque el cos  va variando entre 0 y 1. De esta forma toma su valor máximo de 1 cuando el ángulo formado por los dos vectores es 0. Es decir, cuando son paralelos.

En este texto hemos visto de forma resumida todo lo referente al producto escalar de dos vectores. Espero que te haya ayudado a entender como proceder cuando hay que operar de este modo dos magnitudes vectoriales.

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