Operaciones con vectores ejemplos y ejercicios resueltos.

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Operaciones con vectores ejemplos más comunes en física.

Ya hicimos un apunte de las operaciones con vectores de ejemplo que se podían realizar en la descripción de la categoría magnitudes y unidades.

En esta entrada vamos a ver unos ejemplos de operaciones con vectores que te permitirán tener claro cómo realizarlas tanto gráfica como analíticamente.

Las operaciones que podemos realizar son las siguientes:

Atención, no se debe confundir en ningún caso el producto de un vector por un escalar con el producto escalar de vectores.

En esta entrada nos centraremos en la suma, la resta y el producto de un vector por un escalar, y dejaremos para futuras entradas el producto escalar de vectores y el producto vectorial.

Suma y resta de vectores.

Suma y resta de vectores de forma analítica.

La suma y resta de vectores son operaciones con vectores sencillas pero que utilizarás mucho en la resolución de ejercicios de física en los que intervengan magnitudes vectoriales.

Partiremos de la base de que sabemos que un vector se expresa matemáticamente a través de sus componentes espaciales.

En el caso de un vector en el plano, éste tiene dos componentes y se expresa del siguiente modo:

v = (vx, vy)

Si se trata de un vector en el espacio utilizaremos, sin embargo, tres componentes espaciales:

v = (vx, vy, vz)

Para sumar o restar analíticamente dos vectores bastará con sumar o restar entre sí las componentes homólogas de cada uno de los vectores del siguiente modo:

Dados v = (vx, vy, vz) y w = (wx, wy, wz), entonces u = v + w, vendrá dado por:

 u = (vx + wx, vy + wy, vz + wz)

y z= v – w, lo calcularemos como: 

 z = (vx – wx, vy – wy, vz – wz)

Veamos ahora un ejemplo numérico, que siempre os gusta má.

Si nos dan dos vectores:   u = (2, -1, 4) y v = (3, 4, -2)

Suma: w = u + v(2, -1, 4) + (3, 4, -2) = (2+3, -1+4, 4+(-2)) = (5, 3, 2)

Resta: z = u – v(2, -1, 4) – (3, 4, -2) = (2-3, -1-4, 4-(-2)) = (-1, -5, 6)

Fácil, ¿no?

En caso de vectores de dos componentes se hace de modo equivalente, pero utilizando solamente las componentes xy de los vectores implicados.

Cabe mencionar aquí que, en física, los vectores suelen expresarse como suma de sus componentes multiplicadas por los vectores unitarios en cada uno de los ejes de referencia. 

Así el vector u = (2, -1, 4) se expresa en física de la siguiente forma: u = 2ij + 4k, siendo ij y k los vectores unitarios en los ejes x, y y z respectivamente.

Entonces, la suma anterior se expresaría de la forma siguiente:

w = u + v = (2i – j + 4k) + (3i + 4j -2k) = (2+3) i + (-1+4) j + (4+(-2)) k = 5i + 3j + 2k

Esto está muy bien, pero ¿qué significa exactamente la suma y la resta de vectores? Veámoslo de modo gráfico para hacernos una mejor idea de ello.

Operaciones con vectores de forma gráfica. Suma de vectores de forma gráfica.

Para entender la suma de vectores de forma gráfica, vamos a partir del caso más general de dos vectores que tienen direcciones distintas. 

Posteriormente particularizaremos algo más en el caso de los vectores que llevan la misma dirección.

Por motivos de practicidad y facilidad de visualización lo vamos a hacer con vectores en el plano, es decir, de dos componentes. En todo caso lo explicado para estos es extensible al caso de los vectores de tres componentes.

operar vectores, suma de vectores por adicion

Método de adición al extremo.

El método de adición consiste sencillamente en colocar el origen del vector u en el extremo del vector v. 

De este modo, el vector suma se obtiene uniendo el origen del vector v con el extremo del vector u que hemos posicionado. 

Cabe remarcar que el resultado obtenido es el mismo si adicionamos el origen de v al extremo de u.

En la figura también puedes ver claramente como cada una de las componentes del vector suma es la suma de las componentes homologas de cada uno de los vectores sumados. En el video que acompaña a esta entrada podrás verlo con más claridad si cabe.

Método del paralelogramo.

El método del paralelogramo es una buena forma de sumar dos vectores cualquiera.

Para llevarlo a cabo basta con hacer coincidir el origen de ambos vectores. Posteriormente, por el extremo de cada uno de ellos trazamos una paralela al vector opuesto.

El resultado de la suma es el vector que une el origen de ambos vectores con la intersección de las dos paralelas así trazadas.

operaciones con vectores, suma metodo del paralelogramo

Fíjate que el resultado es equivalente al obtenido si usamos el método de adición. Cada uno de los segmentos punteados podría ser sustituido por el vector paralelo al mismo y sería lo mismo que utilizar el método de adición visto anteriormente.

Módulo del vector suma.

Ahora que hemos visto como se realiza gráficamente la suma de vectores, parece claro que el módulo del vector suma, es decir su longitud, no es igual a la suma de los módulos de los vectores sumados.

Es decir, en general: |u+v||u| + |v|

Vamos a ver ahora en que casos nos podemos encontrar para así poder saber como calcular el módulo del vector suma.

En todos los casos podremos calcular primero el vector suma y una vez lo tengamos calcular su módulo. De esta manera no nos equivocaremos nunca.

Recordemos que dado un vector u = (ux, uy), su módulo viene dado por: |u| = raiz [(ux)2 + (uy)2]

Ahora bien, si queremos saber el módulo de la suma sin realizarla analíticamente, conociendo únicamente el módulo de los vectores sumados y el ángulo que forman sus direcciones y sentidos, lo podremos hacer según el caso del modo que sigue

suma de vectores de la misma dirección gráficamente para obtener su módulo

Vectores de la misma dirección.

Si los dos vectores sumados tienen la misma dirección y sentido, cuando hagamos gráficamente su suma por el método de adición la longitud del vector suma si que es igual a la suma de las longitudes de los vectores sumados. 

Puedes ver lo dicho representado en la figura de al lado.

En este caso, pues, si que se cumple:

|u+v| = |u| + |v|

Si los vectores tienen sentidos opuestos, al añadir uno al extremo del otro, vemos que la longitud del vector resultante es igual a la diferencia de las longitudes de los dos vectores. 

En este caso se cumplirá:

|u+v| |u| – |v|

Si los vectores tienen sentidos opuestos, al añadir uno al extremo del otro, vemos que la longitud del vector resultante es igual a la diferencia de las longitudes de los dos vectores. 

En este caso se cumplirá:

|u+v| |u| – |v|

Vectores perpendiculares.

El caso en el que tenemos que sumar dos vectores perpendiculares, es un caso especial de vectores con distinta dirección.

En este caso, con un poco de geometría básica podemos ver que al sumar por el método de adición los dos vectores se forma un triángulo rectángulo.

En este triángulo rectángulo los catetos miden igual que los módulos de los vectores u y v que pretendemos sumar, y la hipotenusa lo mismo que el módulo del vector suma, que es lo que pretendemos hallar.

suma de vectores perpendiculares utilizando el teorema de pitágoras.

En este caso podremos calcular entonces el módulo del vector suma aplicando el teorema de pitágoras. De este modo:

|u + v| = raiz (|u|2 + |v|2)

Vectores oblicuos entre si.

Cuando los vectores son oblicuos entres si, al sumarlos por el método de adición vemos que el triángulo que nos queda no es rectángulo, tal como puedes ver en la figura.

El tipo de triángulo que nos queda es un triángulo oblicuángulo. A lo largo de primero de bachillerato se estudian unos cuantos teoremas que relacionan los lados y los ángulos de este tipo de triángulos.

Uno de ellos es el teorema del coseno que establece que si conocemos la longitud de dos lados de un triangulo, en nuestro caso los vectores que queremos sumar, y el ángulo que forman (α), podemos calcular la longitud del lado opuesto, en nuestro caso el vector suma.

Este cálculo nos permite establecer que:

|u + v| = raiz (|u|2+|v|2 – 2|u|·|v|·cos α)

Operaciones con vectores. La resta de vectores en forma gráfica.

Una de las operaciones con vectores que más os cuesta entender de forma gráfica es la resta de vectores. Esto sucede porque simplemente mecanizáis un procedimiento pero no intentáis entender su significado.

Veamos a ver si conseguimos que hoy si lo entendáis.

Para ello hemos de partir de la suma de vectores de forma gráfica por adición. 

Podemos establecer que si la resta de dos vectores es w = uv, si intentamos realizar la operación v + w obtendremos lo siguiente:

v + w = v + (uv) = v + uv = u

Es decir si al vector que sustraemos le añadimos en el extremo el vector diferencia nos da el vector al cual restamos el segundo. 

Así pues, el vector diferencia es el vector que une el extremo de v con el extremo de u por este orden.

Veámoslo a continuación de manera gráfica.

resta de vectores de modo grafico

Producto de un escalar por un vector.

Realización de forma analítica y gráfica.

El producto de un escalar por un vector es una operación muy sencilla de realizar, al igual que la suma y la resta de vectores.

Supongamos que tenemos un vector v = (vx, vy, vz) y un número (o escalar), k. 

El producto del vector por el escalar se expresa como w = k·v, y se calcula del siguiente modo:

w = k·(vx, vy, vz) = (k·vx, k·vy, k·vz)

Es decir, hemos de multiplicar cada una de las componentes del vector v por el escalar en cuestión.

Nótese que el resultado de esta operación es otro vector. Este vector obtenido tiene la misma dirección que el v y, si el escalar es positivo el mismo sentido. En el caso de que el escalar sea negativo el sentido del vector w es opuesto al de v.

Si hacemos el ejercicio de calcular el módulo del vector w obtenido obtendremos lo siguiente:

|w| = raiz ((k·vx)2 + (k·vy)+ (k·vz)) = raiz (k2·vx2 + k2·vy2 + k2·vz2) = raiz (k2· (vx2+vy2+vz2)) =

= raiz (k2) · raiz (vx2 + vy2 +vz2) = k·|v|

Llegamos a la conclusión de que el módulo del vector v queda multiplicado k veces en el vector resultante.

Con lo dicho podemos concluir que, multiplicar un vector por un escalar k, es equivalente a sumar k veces ese vector consigo mismo, como podrás apreciar en la figura adjunta.

Multiplicar vectores por números negativos es muy útil para invertir su sentido, y por números comprendidos entre 0 y 1, para reducir su tamaño.

producto de un vector por un escalar de modo grafico. Operar vectores.

Como hemos comentado al principio del post nos quedan dos operaciones, quizás las dos más importantes, que se utilizan constantemente en física. 

Estas dos operaciones son el producto escalar de vectores, que no hay que confundir con el que acabamos de ver, ya que se trata de una operación entre dos vectores, y el producto vectorial de vectores.

Dada su importancia y repercusión de su análisis y significado dedicaré una entrada exclusiva a cada una de estas dos operaciones. Podrás encontrarlas en la categoría en la que abordo todos los asuntos relacionados con las magnitudes vectoriales.

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