Como hallar las componentes de un vector.

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Vamos a aprender cómo hallar las componentes  de un vector de forma rápida y fácil.

También aprenderemos por qué y cuando hay que hacerlo, es decir, para que se utilizan.

 Como siempre empezaremos por entender qué son las componentes de un vector.

Nota: por motivos de edición, al no poder utilizar la simbología de una flechita encima de la letra para indicar que una letra representa a un vector, se ha optado por la variante, también aceptada, de representar los vectores mediante el uso de negrita en las letras que los representan.

Qué son las componentes de un vector.

Aunque parece algo obvio, déjame decir que este concepto sólo tiene sentido asociado a las magnitudes con carácter vectorial.

Cuando queremos aprender física desde cero esta es una de las primeras cosas que debemos aprender, pues la utilizaremos para resolver muchos problemas y ejercicios que se nos plantearan.

Las componentes de un vector v en física son dos vectores con la dirección de los ejes de referencia, OX y OY, cuya suma nos da como resultado el vector v.

Estas componentes se denominan vx, la que lleva dirección del eje OX y vy, la que lleva la dirección del eje OY.

Muchas veces como simplificación, se toma por componente el módulo de estos dos vectores, vx y vy.

En el eje OX, se toma como vector unitario, es decir vector con modulo 1 que lleva la dirección del eje OX en sentido positivo, un vector al cual llamamos i. Por tanto, vx = vx i

En el eje OY, se toma como vector unitario, es decir vector con modulo 1 que lleva la dirección del eje OY en sentido positivo, un vector al cual llamamos j. Por tanto, vy = vy j

Así pues, podemos decir que el vector v puede expresarse en función de sus componentes como:

v = vx i + vy j

Que son las componentes de un vector

En la figura adjunta tienes una representación de lo explicado. El vector representado tiene como componente en el eje x, vx = 5i, y en el eje y vy= 2j

Como puedes ver se trata de dos vectores. vx va en la dirección del eje OX y es 5 veces el vector unitario i.

vy va en la dirección del eje OY y es 2 veces el vector unitario j.

Su suma por el método del paralelogramo nos da el vector v.

Hemos visto el significado de las componentes de un vector.

Veamos ahora como calcularlas cuando lo que conocemos es el módulo y la dirección del mismo.

Hallar las componentes de un vector.

Se trata de establecer un método que nos permita hallar las componentes de un vector conocidos su módulo y dirección.

Recordemos que la direcci√≥n de un vector queda determinada por el √°ngulo que forma el vector con el eje OX (őĪ).

Para ello necesitaremos tener ciertos conocimientos de trigonometría.

En concreto es necesario recordar la definici√≥n de las razones trigonom√©tricas, que en un tri√°ngulo rect√°ngulo, para un √°ngulo őĪ determinado, es la que sigue:

sen őĪ = cateto opuesto/hipotenusa

cos őĪ = cateto adyacente/hipotenusa

descomponer un vector en sus componentes

Observando de nuevo la figura de al lado, podemos observar como el √°rea sombreada determina un tri√°ngulo rect√°ngulo, que forma con el eje OX un √°ngulo őĪ.

En dicho tri√°ngulo las longitudes de la hipotenusa, el cateto adyacente al √°ngulo indicado y el cateto opuesto al mismo son respectivamente: |v|, vx, vy.

De este modo, si sustituimos estas expresiones en las definiciones de las razones trigonométricas que acabamos de recordar tendremos que:

sen őĪ = vy/|v|

cos őĪ = vx/|v|

Y despejando de estas expresiones vy y vx tendríamos el valor de las componentes que deseábamos calcular:

vy = |v| ¬∑ sen őĪ

vx = |v| ¬∑ cos őĪ

Y ya estaríamos en disposición de escribir la expresión del vector v.

v= vx¬†i + vy¬†j = |v| ¬∑ cos őĪ i + |v| ¬∑ sen őĪ j

Atención: Como siempre te digo, la física no son fórmulas sino conceptos. Por eso te he explicado todo el procedimiento. Eso te permitirá entender por qué, si el ángulo que tienes no es el ángulo que forma el vector con el eje OX, sino que es el que forma con el eje OY, la fórmula que hemos obtenido ya no es válida.

Mira en el video un ejemplo en el que verás el por qué.

Ejercicio resuelto calcular las componentes de un vector.

Vamos a ver un ejemplo de aplicación de lo que hemos visto hasta ahora.

Verás que es algo muy sencillo de entender y hacer. Basta con repetirlo unas cuantas veces para consolidar este procedimiento que tantas veces utilizarás en los ejercicios de física.

Ejercicio: Calcular las componentes de un vector cuyo m√≥dulo es 7 y que forma un √°ngulo de 30¬ļ con el eje OX.

Seg√ļn hemos visto la componente en el eje de las x, es el cateto adyacente al √°ngulo dado, por lo tanto vx se puede calcular como:

vx = |v| ¬∑ cos őĪ

vx¬†=¬†7 ¬∑ cos 30¬ļ = 7 ¬∑ raiz(3)/2 = 6,1 u.

A continuación procederemos a calcular la componente vy, que por tratarse del cateto opuesto al ángulo conocido calcularemos del siguiente modo:

vy¬†= |v| ¬∑ sen őĪ

vy¬†=¬†7 ¬∑ sen 30¬ļ = 7 ¬∑ 1/2 = 3,5 u.

Hemos obtenido como resultado que vx = 6,1 y vy = 3,5. Podremos escribir el vector v como:

v = 6,1 i + 3,5 j

En el video encontrar√°s ejemplos de vectores ubicados en diferentes cuadrantes que, en principio, no presentan dificultades a√Īadidas.

Practica lo aprendido por que te ser√° muy √ļtil. Lo utilizar√°s por ejemplo para simplificar el estudio de un tiro oblicuo en cinem√°tica, descomponiendo la velocidad inicial del m√≥vil en sus dos componentes.

Tambi√©n te ser√° muy √ļtil para cualquier problema en el que intervengan varias fuerzas con direcciones diferentes. Normalmente, estos problemas se resuelven hallando las componentes de todas las fuerzas en 2 ejes ortogonales arbitrarios.

De momento no te preocupes por ello, consolida este aprendizaje para poder continuar con calma.

Seguimos.

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