Ejercicios resueltos de derivadas sencillas para cinemática.

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¿Qué es una derivada?

Los ejercicios resueltos de derivadas sencillas que aquí te presento, sólo tienen sentido si, previamente, entiendes bien lo que es una derivada. 

Entenderlos bien te permitirá resolver ejercicios de cinemática más complejos y podrás calcular ecuaciones de velocidad y aceleración a partir de la ecuación de posición de un móvil.

El concepto de derivada cobra sentido cuando tenemos una función, es decir una relación entre al menos dos variables. Representamos a la función por el símbolo f(x). 

Por ejemplo f(x) = 3x2-5x+3, que tu hasta ahora habrás visto escrita como y= 3x2-5x+3.

Esta función tiene una representación gráfica, en este caso una parábola.

Pues bien, la derivada de esta función es otra función, que representamos como f'(x). 

La nueva función, f'(x),  asigna a cada punto de la función un valor que se corresponde con el valor de la pendiente de la tangente a la curva en ese punto.

Otra forma de explicarlo es decir que, la función derivada asigna a cada punto la rapidez con la cual varía la variable dependiente (y) al variar la variable independiente (x).

Vamos a ver esto con un poco más de rigor matemático, para que seas capaz de identificar situaciones en las que es conveniente recurrir a la derivada para realizar cálculos.

Interpretación geométrica de la derivada.

Podemos realizar una interpretación geométrica del significado de la derivada a partir de su definición matemática.

La definición matemática de derivada es:

ejercicios resueltos de derivadas que es una derivada definicion matematica de derivada

Veamos a continuación cual es el significado de esta expresión, que nos permitirá calcular derivadas y realizar los ejercicios resueltos de derivadas sencillas que nos proponemos hacer.

interpretación geometrica de la derivada, primera imagen

Fíjate en la figura de al lado, en ella se representa un punto, x0, y otro punto a una distancia h, x0+h.

Cada uno de ellos tienen una imagen según la función f(x). Son respectivamente f(x0) y f(x0+h).

En la figura nos ha quedado un triángulo rectángulo sombreado.

Si realizamos el cociente [f(x0+h) – f(x0)]/h, aplicando trigonometría sabemos que es igual a tg α.

Si seguimos la fórmula matemática que nos describe la derivada, ahora tendremos que hacer el límite cuando h tiende a 0 de esta situación.

Eso implica ir haciendo cada vez más pequeño el segmento h, en rojo en la imagen superior. De este modo x0 y x0+h estarán cada vez más próximos entre si.

Veamos qué es lo que sucede.

Como puedes observar en la figura de al lado, al hacer mas pequeña la h, x0+h queda más próximo a x0.

Esto hace que la hipotenusa del triángulo rectángulo que quedaba definido se aproxime más a la curva.

En este caso, el ángulo α se va haciendo más grande y se va aproximando cada vez más al ángulo β. El ángulo β está marcado en color rojo en la figura.

Es fácil ver que cuanto más pequeño hagamos h más se aproximará α a β. Si repetimos este proceso infinitas veces, de modo que α sea prácticamente 0, ambos ángulos coincidirán.

ejercicios resueltos de derivadas interpretacion geometrica

Podemos expresar matemáticamente lo dicho hasta ahora del siguiente modo:

formula para la interpretacion geométrica de la derivada

Esto traducido indica que la derivada de una función en un punto es igual a la tangente trigonométrica del ángulo que forma la tangente geométrica a la curva en dicho punto.

Como resulta que a la tangente del ángulo que forma una recta con el eje de las x se le llama pendiente de la recta, la derivada de una función en un punto se puede definir como la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

Una forma de ver cual es el significado de la derivada, si lo asociamos a la pendiente de la recta tangente es: cuanto variaría la variable y al variar en una unidad la variable x.

¿Cómo calcular derivadas?

Inicialmente, para resolver derivadas, había que resolver el límite matemático que las define. 

¿Te acuerdas de resolver límites?

¡No te asustes! No vas a tener que hacerlo.

Con el tiempo, los matemáticos se dieron cuenta de la aparición de patrones cuando derivaban, y construyeron una tabla de funciones derivadas, que podemos aplicar directamente a nuestras funciones sin necesidad de resolver límites.

Como las funciones que deberemos derivar para resolver problemas de cinemática son bastante sencillas, de momento ni siquiera tendrás que aprenderte toda la tabla.

Bastará con que aprendas a derivar polinomios, y a lo sumo cocientes y potencias.

En los ejercicios resueltos de derivadas sencillas que te he preparado en el video encontraras numerosos ejemplos que ilustrarán mejor lo que viene a continuación.

Vamos a ello.

En las siguientes fórmulas de derivación usaremos la siguiente nomenclatura. A la función f(x) le llamaremos u. Si necesitamos una segunda función g(x) la llamaremos v.

De este modo sus derivadas las designaremos por u’ y v’.

Una vez visto esto empezamos a ver las reglas de derivación que necesitaremos.

Derivada de una constante:

u=k ⇒ u’=0

Derivada de la función identidad:

u=x ⇒ u’=1

Derivada de las potencias de x:

u=xn ⇒ u’= n·xn-1

Derivada de una constante por una función:

h(x)=k·u ⇒ h'(x)= k·u’

Derivada de la suma de funciones:

h(x)=u + v ⇒ h'(x)= u’ + v’

Con lo visto hasta aquí podremos derivar funciones polinómicas, que son la gran mayoría de las que te encontrarás.

Derivada del producto de funciones:

h(x)=u · v ⇒ h'(x)= u’ · v+ u · v’

Derivada del cociente:

h(x)=u / v ⇒ h'(x)= (u’ · v- u · v’) / v2

Para finalizar veremos como derivar la raíz de una función:

 

formula de la derivada de la raiz de una función

Ejercicios resueltos de derivadas, tabla resumen.

A continuación te dejo un resumen en forma de tabla:

TABLA RESUMEN DE DERIVADAS
FUNCIONDERIVADA
u=ku’=0
u=xu’=1
u=xnu’=n·xn-1
f(x)=k·uf'(x)=k·u’
f(x)=u+vf'(x)=u’+v’
f(x)=u·vf'(x)=u’·v+u·v’
f(x)=u/vf'(x)=(u’·v+u·v’)/v2
f(x)=raiz(u)f'(x)=u’/[2·raiz(u)]

Ejercicios resueltos de derivadas sencillas de ejemplo.

Ahora ya estamos en condiciones de realizar algunos ejercidos resueltos de derivadas que sirvan como ejemplo para lo que te encontrarás más adelante, cuando resuelvas problemas de física.

Derivaremos funciones para cada uno de los ejemplos para que te quede claro que significa la notación utilizada.

Ejemplo de derivada de una constante:

u=5 ⇒ u’=0

Ejemplo de derivada de la función identidad:

u=x ⇒ u’=1

Ejemplo de derivada de las potencias de x:

u=x3 ⇒ u’= 3·x2

Como puedes observar, hemos pasado el exponente de la x a multiplicar y ha quedado reducido en una unidad en la x, tal como indica la fórmula de derivación. 

Ejemplo de derivada de una constante por una función:

h(x)=5·x4 ⇒ h'(x)= 5·4x3 = 20x3

Es decir, en este caso, dejamos el número, 5, multiplicando y, simplemente, derivamos la función que tiene detrás.

Ejemplo de derivada de la suma de funciones:

h(x)= 5x + 2 ⇒ h'(x)= 5 + 0 =5

En este ejemplo teníamos una suma. La función u era 5x, mientras que la función v era 2. Como la derivada de la suma es la suma de derivadas, simplemente hemos de derivar cada una de ellas por separado y mantenerlas sumándose.

Ahora ya podemos derivar cualquier polinomio.

Ejemplo de derivación de un polinomio:

f(x) = 4x3 + 3x2 -5x +4

Interpretaremos este polinomio como la suma de cuatro términos. Por lo tanto, los derivaremos individualmente y los dejaremos sumando.

Cada uno de los términos es de la forma k·xn.

Dado que tenemos el producto de una constante por la derivada una función, la derivada de este termino será k·(xn)’.

Si ahora derivamos el término que queda pendiente, cada término del polinomio nos queda como k·n·xn-1.

En el caso del término independiente, 4, su derivada es 0 por tratarse de una constante. Al estar sumando al resto de términos podemos eliminarlo.

En resumen, la derivada del polinomio nos quedará:

f'(x) = 4·3x2 + 3·2x – 5·1 + 0 = 12x2 + 6x -5

Fácil, ¿no?.

Ejemplo de derivada del producto de funciones:

f(x)= (3x2 + 1) · (5x3 – 4x)

Nuestra función tiene la forma:

f(x)= u· v

Para derivarla utilizaremos la fórmula f'(x)= u’ · v+ u · v’

Esto nos arrojará el siguiente resultado:

f'(x) = 6x · (5x3 – 4x) + (3x2 +1) ·(15x2 – 4)

Y ya sólo nos quedará operar:

f'(x) = 30x4 – 24x2 + 45x4 – 12x2 +15x2 – 4 = 75x4 – 21x2 -4

Ejemplo de derivada del cociente:

f(x) = x2 / (3x +2)

Como nuestra función es un cociente de la forma h(x)=u / v, aplicaremos la fórmula h'(x)= (u’ · v- u · v’) / v2.

f'(x) = [2x · (3x + 2) – x2 · (3)] / (3x+2)2

Operando el numerador:

f'(x) = (6x2 +4x -3x2) / (3x+2)2 = (3x2 +4x) / (3x+2)2

Ejemplo de derivada de la raíz de una función:

f(x) = raiz(5x2 + 7x)

Utilizaremos la fórmula:

ejemplo de como calcular la derivada de la raiz

Derivadas en un punto.

Si te fijas, al derivar, lo que hemos obtenido es una función de x. Es decir, lo que obtenemos no es un valor concreto, sino una expresión que dependerá de en que x nos encontremos.

Esto es así porque, como es obvio el valor de la derivada de una función (la pendiente de su tangente), varía según en que punto de la misma nos encontremos.

Sin embargo, normalmente, nosotros necesitaremos conocer el valor concreto de la derivada en una situación concreta (para un valor determinado de la x).

¿Qué hacer entonces?. Por suerte es muy sencillo. Como la derivada obtenida nos da su valor en función de x, si queremos saber el valor de la derivada en x=5 simplemente hemos de sustituir el 5 en la expresión obtenida para la derivada. Es decir, tendremos que obtener f'(5).

Veámoslo en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Hallar el valor de la derivada de la función f(x) = 4x3 – 2x2 – 5x – 4, en el punto de abcisa x=3.

Obtenemos primero f'(x) = 12x2 – 4x – 5

Y a continuación la derivada en el punto requerido:

f'(3) = 12·32 – 4·3 -5 =12·9 – 12 – 5 = 91

Derivadas de funciones de otras variables

En física es muy común que las funciones que te encuentres no estén expresadas en función de x, sino de otras variables, por ejemplo el tiempo.

En los ejercicios de cinemática por ejemplo, te encontrarás la velocidad de un móvil expresada en función del tiempo.

v(t) = 3t2 – 5t

Si sustituyes el tiempo por cualquier valor deseado puedes conocer el valor de la velocidad del móvil en ese instante.

En determinadas ocasiones habrás de derivar esta expresión. Ningún problema.

Para hacerlo simplemente debes pensar que v es lo mismo que f, y t hace el mismo papel que x en las fórmulas de derivación. Entonces derivar tn es equivalente a derivar xn y por tanto su derivada valdrá ntn-1.

De ese modo podremos decir que:

v'(t) = 6t – 5

Encontraras ejercicios resueltos de derivadas sencillas de este tipo en el video para que te quede más claro.

Como aprender las derivadas para aplicarlas

Una vez visto como calcular derivadas, viene lo de siempre… ¿y yo como me aprendo esto?

Para aprender las derivadas, lo siento pero si, tendrás que estudiarte esa tablita que te he puesto con las fórmulas de las derivadas.

La mejor manera es dedicarle unos 10 minutos al día durante 5 días y luego repetir al cabo de una semana.

Cuando estudies no repitas mirando al aire. Escribe lo que vas visualizando. Esta demostrado que se retiene mucho mejor.

De todos modos no te obsesiones. La realidad es que las aprenderás practicado, así que practica, practica, practica… 

Puedes mirar el video de ejercicios resueltos de derivadas sencillas que he preparado para ti. Pausa el video e intenta solucionarlas sin mirar, luego comprueba qué tal lo has hecho. 

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