Ecuación de la velocidad. Qué es la velocidad física.

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La ecuación de la velocidad, nuestro objetivo.

Queremos encontrar la ecuación de la velocidad que tiene nuestro móvil a lo largo de su movimiento.

Esto significa encontrar una expresión algebraica que nos facilite la velocidad del móvil para cualquier instante (t).

Cada tipo de movimiento tendrá su propia ecuación de velocidad.

De todos modos, de nada nos serviría tener dicha ecuación si antes no entendemos bien qué es la velocidad.

¿Qué es la velocidad de un móvil?

Todos tenemos una idea preconcebida de qué es la velocidad de un móvil. En la vida cotidiana nos encontramos con este concepto diariamente.

Por ejemplo,  cuando viajamos vemos que el coche lleva una velocidad de 120 km/h. Este dato nos indica que en una hora el coche habrá avanzado sobre la carretera 120 km.

Es decir, ya tenemos una idea de que la velocidad indica la rapidez con la que un móvil pasa de un punto inicial a un punto final.

Sin embargo, esta visión diaria de las cosas hace que al principio confundamos algunos términos que en física no son equivalentes.

Desplazamiento vs espacio recorrido por un móvil.

La confusión entre desplazamiento y espacio recorrido se da por el hecho de que muchos de los movimientos que observamos son en línea recta. Además, hasta ahora, en estudios anteriores sólo se han contemplado casi exclusivamente movimientos rectilíneos.

desplazamiento de un móvil diferente de espacio recorrido sobre su trayectoria

Como ya vimos en el primer post de esta serie, en física, el desplazamiento es un vector que une el inicio del movimiento con su final.

Supongamos el movimiento de la figura, que sigue la trayectoria de puntos trazada desde A hasta B.

Es obvio que el módulo del vector desplazamiento no coincide con la distancia total recorrida medida sobre la trayectoria.

En este caso el módulo del desplazamiento es menor que el espacio o distancia recorrida.

¿Qué es la velocidad media de un móvil?

Podemos entonces obtener la velocidad media como:

ecuacion de la velocidad media
representación del vector velocidad media

La velocidad media de un móvil es una primera aproximación al concepto de velocidad que hacemos en física.

Se trata de relacionar el desplazamiento que se produce en un movimiento con el tiempo que se tarda en completarlo. 

Recordemos que el desplazamiento tiene carácter vectorial y, por lo tanto, la velocidad media también será un vector.

Como puedes observar en el gráfico de al lado, el vector velocidad media lleva la dirección del vector Δr.

Esto se debe a que simplemente estamos dividiendeo cada una de las componentes de Δr por un escalar, por lo que el vector obtenido vm es proporcional al primero.

Pensemos ahora un momento para darnos cuenta de que esta primera aproximación no es el concepto real de velocidad con el que estamos familiarizados.

Ejemplo de calculo de la velocidad media de un móvil.

Supongamos que en el ejemplo de la figura anterior nos trasladamos del punto A al punto B siguiendo una linea recta y lo hacemos en 2 segundos.

El móvil se ha movido del punto (1, 3,75) al punto (6, 1,75)

r1 = 1i + 3,75 j y r2 = 6i + 1,75 j

 Δr = r2r1= (6-1)i + (1,75-3,75)j = 5i – 2j

Tenemos que Δr = 5i – 2j y por tanto vmΔr/Δt = (5i – 2j) /2= 2,5 i – 2j

Si en lugar de desplazarnos en linea recta lo hacemos siguiendo la trayectoria, el vector desplazamiento para ese movimiento sigue siendo Δr y el tiempo invertido sigue siendo 2 s. Nos encontramos, por tanto, con que la velocidad media para este segundo movimiento sería la misma que para el primero.

Sin embargo, nuestra experiencia, y sentido común, nos dice que, cuando el cuerpo se mueve a través de la trayectoria de puntos, ha de moverse más rápido para llegar de A a B si ha de hacerlo en el mismo tiempo que si lo hace en linea recta.

Necesitamos algo que nos aproxime mejor el concepto de velocidad, que se ajuste mejor a nuestra realidad cotidiana.

¿Cómo calcular la velocidad instantánea de un móvil?

La cuestión de cómo calcular la velocidad instantánea de cualquier móvil, es uno de los problemas que trajo de cráneo a los físicos durante mucho tiempo.

De hecho, la existencia de este problema, trajo como consecuencia la aparición de una rama de las matemáticas que apareció para dar solución a esta cuestión: el calculo diferencial.

Es posible que en este curso todavía no hayas estudiado esta parte de las matemáticas cuando estudies la cinemática.

El calculo diferencial es en última instancia la parte de las matemáticas que nos permite hacer derivadas.

En un post a parte te enseño cómo hacer derivadas sencillas para poder resolver problemas de cinemática.

Veamos como, efectivamente, el concepto de velocidad instantánea puede asociarse al cálculo de una derivada.

Pero antes de todo, ¿Qué es la velocidad instantánea de un móvil?

Como su nombre indica, es la velocidad que el móvil tiene en un instante de tiempo de terminado. En este caso, si coincide con el concepto intuitivo que tenemos de velocidad para cualquier tipo de movimiento.

Ecuación de la velocidad instantánea, deducción.

Podía aquí simplemente decirte, la velocidad instantánea se calcula así y punto.

Pero como ya nos vamos conociendo, sabes que te voy a explicar de donde viene todo. Vamos a aprender lo que significa la fórmula de la velocidad instantánea.

Para ello deberás saber lo que es una derivada, como te expliqué en el post dedicado a ello.

representacion grafica del concepto de velocidad instantanea

Mira la imagen de al lado.

En ella puedes ver un móvil que en un tiempo Δti va moviéndose a lo largo de los puntos de una trayectoria.

A cada uno de los Δti le corresponde un Δri. Por tanto, podemos calcular en cada uno de los casos cual es la vmi asociada.

Obviamente esto lo haremos aplicando la fórmula que hemos visto:

vmi= Δr/Δti 

Fíjate que cuando el Δt va disminuyendo, como el móvil tiene menos tiempo para moverse, avanza menos espacio sobre la trayectoria.

La consecuencia de esto es que, el módulo de Δr se aproxima cada vez más al espacio recorrido sobre la trayectoria.

Si hacemos ese Δt cada vez más pequeño, infinitamente pequeño, llegará un momento en que estos dos valores coincidirán.

Esta operación mental que hemos hecho los matemáticos la llaman un límite cuando Δt tiende a 0. Como estamos haciendo este límite para el cociente de una función con respecto de su variable independiente, lo que tenemos es la derivada de la función.

A esto los físicos le llaman velocidad instantánea, pues mide la velocidad media para una variación de tiempo infinitamente pequeña, por lo que podemos decir que tenemos la velocidad en el instante en el que la estamos midiendo.

Fíjate, y esto es muy importante, que la velocidad instantánea es tangente a la trayectoria del móvil en el punto que la calculamos.

Así pues, la ecuación de la velocidad instantánea es:

formula de la velocidad instantánea de un móvil

El galimatías de fórmula anterior simplemente indica que para obtener la velocidad instantánea de un móvil hemos de obtener la derivada de su ecuación de movimiento r(t).

Es decir, necesitamos tener una expresión analítica que nos indique cual es el vector de posición del móvil en cada instante t y, en ese caso, obtendremos la vi como derivada de dicha función.

En conclusión, no existe tal cosa como la fórmula de la velocidad instantánea de un movimiento. Cada movimiento tiene su fórmula de velocidad instantánea en función de sus característica. Veremos estas fórmulas en algunos movimientos característicos en su momento.

Lo que tenemos es un procedimiento matemático para poder calcularla si conocemos cual es la ecuación de movimiento del mismo.

Vamos a verlo con algún ejemplo.

Ejemplos de cálculo de velocidad instantánea.

Como ya hemos comentado, si sabemos realizar derivadas sencillas, el cálculo de la velocidad instantánea de un móvil es algo sencillo, incluso trivial.

Ejemplo 1. Un móvil se mueve siguiendo una ecuación del movimiento r(t) = (3t2+5t-2) i + (t3 -4t +5) j. Calcula la velocidad instantánea del móvil en el segundo t = 3 s y cual es su celeridad en dicho momento.

Para hallar la velocidad instantánea hemos de derivar la ecuación de movimiento. Siguiendo las reglas de derivación de polinomios tendremos:

ejemplo de calculo de velocidad instantanea obtencion de la ecuación de velocidad

Con esto hemos obtenido la expresión de la velocidad instantánea del móvil para cualquier instante de tiempo t.

Para calcularla en el instante t= 3s, simplemente hemos de sustituir el 3 en la variable tiempo de la ecuación de la velocidad.

ejemplo calculo de la velocidad instantanea en un instante determinado.

Por último, calcularemos la celeridad del móvil en ese instante.

La celeridad es el módulo de la velocidad del móvil.

Simplemente lo calcularemos aplicando la fórmula del cálculo del módulo de un vector.

ejemplo calculo del módulo de la velocidad instanea

En muchas ocasiones es necesario, o te solicitan, indicar la dirección del vector resultante del cálculo realizado.

Vamos a verlo para la velocidad instantánea en t=3 s

Como te explique en la entrada sobre características fundamentales de los vectores, esto suele hacerse indicando el ángulo que forma el vector con el eje de coordenadas OX, del siguiente modo:

ejemplo de como calcular la direccion del vector velocidad instantanea angulo eje OX

En siguientes post veremos como calcular la velocidad instantánea y la velocidad media en distintos tipos de movimientos concretos. 

En el movimiento rectilíneo uniforme velocidad media y velocidad instantánea coinciden, pero esto no es así en el resto de movimientos. Así, en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y en los movimientos circulares estas dos velocidades son distintas.

Seguimos aprendiendo física. 

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