Aceleración normal y tangencial. Componentes de la aceleración.

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Aceleración normal y tangencial, qué son.

La aceleración normal y tangencial, son dos vectores imaginarios, en los cuales descomponemos el vector aceleración instantánea de un móvil.

Estos dos vectores son perpendiculares el uno al otro.

El vector aceleración tangencial tiene la misma dirección y sentido que el vector velocidad instantánea del móvil, y por ello es tangente a la trayectoria del móvil considerado.

El vector aceleración normal tiene dirección perpendicular al anterior, y por tanto es perpendicular a la trayectoria del móvil.

El hecho de que sean componentes del vector aceleración hace que se cumpla lo siguiente:

a= at + an

donde a es la aceleración instantánea, at es la aceleración tangencial y an es la aceleración normal.

En lo sucesivo vamos a ver el porqué de la conveniencia de descomponer la aceleración instantánea en sus dos componentes intrínsecas. Es decir, veremos cómo se llega analíticamente a su deducción y a partir de ahí cuál es su significado físico.

Este conocimiento te permitirá resolver numerosos problemas de cinemáticaotros problemas de física más adelante.

Componentes intrínsecas de la aceleración, deducción analítica.

Veamos de donde surge, analíticamente, cada una de estas dos componentes intrínsecas de la aceleración.

Nota: esta demostración es nivel Dios. Está pensada para alumnos de universidad. Los alumnos de bachillerato pueden pasar directamente al siguiente apartado.

Para poder entender esta demostración hay que tener ciertos conocimientos de cálculo diferencial.

También deberás tener presente la descomposición en componentes de un vector y las relaciones entre las magnitudes en el movimiento circular.

Comenzaremos por hallar la aceleración instantánea como la derivada de la velocidad respecto del tiempo. Para hacerlo, consideraremos la velocidad como el producto de su módulo por el vector unitario en su dirección, que es tangente a la trayectoria del móvil.

Como tanto el módulo como el vector unitario varían con el tiempo deberemos derivar esta expresión como un producto:

deduccion componentes intrinsecas de la aceleración 1

Tenemos ahora la suma de dos elementos. El primero es el producto del módulo de v en el instante t por el vector unitario en la dirección de la velocidad. Ambos son conocidos, por lo tanto, el primer término del sumando es conocido. Es, además, un vector tangente a la trayectoria del móvil pues lleva la misma dirección que su velocidad.

En lo sucesivo nos centraremos en el segundo término de la suma que acabamos de obtener.

Este segundo término está compuesto por el producto de dos elementos, el módulo de v, y la derivada del vector unitario en la dirección de v con respecto del tiempo. Este segundo elemento no nos proporciona una información que podamos relacionar con algo conocido por nosotros.

Así pues, vamos a intentar desarrollarlo algo más.

En el gráfico inferior, podemos observar un móvil que se desplaza de un punto A, a un punto B, siguiendo una trayectoria curvilínea con centro de giro en el punto O. 

Podemos observar los vectores unitarios en la dirección a la velocidad ut y en la dirección normal un, en el instante t. En ese instante el vector velocidad tiene un valor v(t).

Cuando haya transcurrido un tiempo muy pequeño dt, el vector v tendrá un valor distinto v(t + dt).

gráfico para interpreta las componentes intrinsecas de la aceleracion

Como queremos derivar uv respecto al tiempo vamos a hallar las componentes cartesianas de uv y un, en función del ángulo ρ.

uv= cos ρ i + sen ρ j

un= -sen ρ i + cos ρ j

Si no recuerdas bien la descomposición en componentes de un vector en el video adjunto podrás recordar como se hace con más detalle.

Proderemos ahora a derivar uv respecto de t.

Para ello nos fijaremos en que conocemos el vector uv en función de ρ, pero ρ varía con el tiempo, por tanto deberemos aplicar la regla de la cadena:

duv/dt = duv/dρ · dρ/dt

De este modo tendremos lo siguiente:

deduccion componentes intrinsecas de la aceleracion formula 2

En rojo se destaca que el unitario en la dirección normal es equivalente a la expresión obtenida al derivar uv. Por tanto, podemos concluir que este sumando tiene una dirección perpendicular a la velocidad del móvil.

Vamos a ocuparnos ahora del último término que nos queda por derivar. Tenemos que derivar φ en función de t.

Pero nosotros podemos relacionar el ángulo barrido por el móvil, φ, con el arco descrito sobre su trayectoria, s.

Si además recordamos que ambos se relacionan entre sí como s = r·ρ, resultará que ds = r·dρ.

Podemos derivar dρ/dt aplicando de nuevo la regla de la cadena:

deducir componentes intrinsecas de la aceleración fórmula 3

Si sustituimos esto en la expresión anterior nos quedará:

demostración componentes intrinsecas de la aceleración

Ahora ya podemos sustituir esta expresión en la fórmula que habíamos obtenido al derivar la aceleración instantánea, lo que nos dejará:

deducción componentes intrínsecas de la aceleración fórmula 5

De este resultado podremos extraer algunas conclusiones que analizaremos en el apartado siguiente.

Aceleración tangencial y normal fórmulas.

En el apartado anterior hemos visto como la aceleración instantánea puede ser descompuesta en dos componentes que, efectivamente son perpendiculares entre sí.

A estas componentes las llamamos aceleración tangencial y aceleración normal:

Cada una de estas componentes se corresponde con cada uno de los sumandos en que nos ha quedado dividida la expresión de la aceleración instantánea.

Al primer sumando lo llamamos aceleración tangencial, y al segundo lo llamamos aceleración tangencial.

De este modo dispondremos de las fórmulas para calcular la aceleración tangencial y normal.

Fórmula de la aceleración tangencial:

formula de la aceleración tangencial

Fórmula de la aceleración normal:

aceleracion normal formula

Características de las componentes intrínsecas de la aceleración.

En el apartado anterior hemos visto como la aceleración instantánea puede ser descompuesta en dos componentes que, efectivamente son perpendiculares entre sí.

A estas componentes las llamamos aceleración tangencial y aceleración normal:

En vista del resultado obtenido podemos deducir las características de las componentes intrínsecas de la aceleración que veremos a continuación:

vista componentes intrinsecas aceleracion descompuesta

Características de la aceleración tangencial: 

  • Su dirección es tangente a la trayectoria del móvil.
  • Su módulo es la derivada del módulo de la velocidad con respecto del tiempo.
  • Nos da información de la variación del módulo de la velocidad con el tiempo.
En el apartado siguiente veremos cómo obtener el vector aceleración tangencial a partir de la ecuación de movimiento de un móvil.

 

Características de la aceleración normal:

  • Su dirección es perpendicular a la trayectoria del móvil, es decir, tiene dirección radial.
  • Su módulo puede calcularse en un instante determinado a partir del módulo de la velocidade como v2/r
  • Su módulo mide la rapidez con la que varía la dirección de la velocidad.
  • Si la trayectoria es rectilínea r→∝ por lo que an=0
  • A través de la aceleración tangencial podemos calcular el radio de curvatura r, que puede variar a lo largo del movimiento.

Cómo calcular las componentes intrínsecas de la aceleración ejercicio resuelto.

Para calcular las componentes intrínsecas de la aceleración a partir de la ecuación de movimiento de un móvil deberemos inicialmente calcular su velocidad y aceleración instantáneas por derivación, tal como vimos en los posts correspondientes a tales conceptos.

Veámoslo con el siguiente ejemplo:

Ejercicio resuelto: Calcular las componentes intrínsecas de la aceleración del móvil que tiene por ecuación del movimiento:

ecuación del movimiento

Paso 1: calcular la velocidad y aceleración instantáneas del móvil.

Para calcular la velocidad instantánea debemos derivar r(t) respecto del tiempo. Para el cálculo de la aceleración instantánea derivaremos la velocidad instantánea obtenida de nuevo respecto del tiempo.

aceleracion y velocidad instantaneas ejercicio calcular componentes intrinsecas aceleracion

Una vez obtenidas estas magnitudes vectoriales podemos proseguir con los siguientes pasos.

Paso 2: calcular la aceleración tangencial del móvil.

Método a: Mediante derivación

Recordemos primero que la aceleración tangencial puede obtenerse como:

at= d|v|/dt ·uv

Entonces, para calcular la aceleración tangencial del móvil necesitamos:

  • Calcular el módulo de v(t) para posteriormente derivarlo respecto de t
  • Calcular el vector unitario en la dirección de v.
Procedamos pues de la siguiente manera:
calculo de la aceleracion tangencial primera parte

Para obtener la aceleración tangencial ya solamente hemos de multiplicar los dos elementos obtenidos.

hallar la aceleración tangencial segundo paso

Método b: Usando la definición de producto escalar.

Si recordamos lo que vimos al estudiar el producto escalar de dos vectores, este podía utilizarse para obtener la proyección de un vector sobre otro. De este modo, si queríamos obtener la proyección del vector a sobre el vector b teníamos lo siguiente:

a·b=a·b·cos φ

En esta expresión el producto a·cos ρ, tiene un valor igual a la longitud de la proyección  de a sobre b (proyba).

Podemos decir entonces que:

a·b = b·proyba

proyba= a·b/b

Si miramos la figura de más arriba veremos que el módulo de at es igual a la longitud de la proyección de a sobre v.

Por tanto, podemos calcular el módulo de at como:

at= proyva= a·v/v

Veámos como quedaría en nuestro caso:

a·v= (6 i – 8 j)·((6t+4) i + (-8t-1) j) = (36t +24) + (64t+8) = 100t +32

Para calcular la expresión del módulo de la aceleración tangencial primero, y el vector at para finalizar, utilizaremos las expresiones del módulo de v y unitario en dirección de v que ya hallamos en el método 1.

hallar la aceleracion normal de un movil metodo 2

Como puedes observar, el resultado obtenido por este método es el mismo que el obtenido por el método 1, una vez simplificado.

Sin embargo, por este método nos ahorramos derivar la expresión del módulo de v.

En cualquier caso, ambos métodos son válidos, y su uso queda a elección del consumidor.

Paso 3: Calcular la aceleración normal del móvil.

Al igual que sucedía con la aceleración tangencial, para calcular la aceleración normal podemos utilizar dos métodos diferentes.

Si nos fijamos en la primera fórmula obtenida, el término de aceleración normal queda como:

an= v2/r · un

No podemos utilizar directamente esta expresión, ya que desconocemos el radio de curvatura de la trayectoria r.

Optaremos, como primer método partir del concepto primigenio de que la aceleración instantánea es la suma de sus dos componentes intrínsecas.

Método a: por diferencia vectorial.

Efectivamente, si partimos del hecho de que, por definición:

a= at + an

podremos calcular la aceleración normal como:

an = aat

Veámos como quedaría esto en nuestro ejercicio:

hallar aceleracion normal por diferencia

Método b: utilizando el producto vectorial de dos vectores.

Para resolver el ejercicio utilizando el segundo método, habremos de recordar lo que vimos al estudiar el producto vectorial de dos vectores.

El módulo del producto vectorial de dos vectores es el área del paralelogramo formado por los vectores. Si esta área lo dividimos por la base del paralelogramo, en nuestro caso v, tendríamos la altura de este, que en nuestro caso coincide con el módulo de an.

Así pues podríamos decir que an=|a x v|/v

Como lo que queremos es el vector an, lo podremos obtener multiplicando su módulo, an, por el vector unitario en la dirección perpendicular a la velocidad, un.

an = an · un = |a x v|/v · un

Ahora bien, aunque un se puede obtener a partir de uv, si sabemos un poquito de matemáticas, el procedimiento es algo laborioso. Esto se debe a que si bien podemos encontrar un vector ortonormal a uv muy fácilmente, intercambiando sus componentes y cambiando de signo a una de las dos, de entre los dos vectores ortonormales obtenidos, habrá que elegir aquel que va dirigido hacia el centro de curvatura.

Para conseguir esto, habremos de asegurarnos de que el producto escalar entre el un elegido y a sea positivo.

Por motivos prácticos, en esta ocasión no realizaremos este análisis y nos limitaremos a calcular el módulo de an.

A continuación, vamos a aplicar lo dicho a nuestro caso. 

Recordemos que |a x v| = a · v · sen φ

Y que podemos calcular φ a partir del producto escalar, ya que, φ = arccos [(a·v)/(a·v)]

En los pasos anteriores ya hemos calculado a, v, y a · v, por lo tanto nos quedará que:

como calcular la aceleracion normal con producto vectorial

Otras fórmulas para calcular la aceleración normal y tangencial.

Para finalizar esta entrada, simplemente me gustaría dejar aquí reflejadas las fórmulas de cálculo alternativas que hemos encontrado al desarrolla nuestro ejercicio.

Así pues, las coordenadas intrínsecas de la aceleración pueden calcularse también del siguiente modo:

fórmulas de cálculo de aceleracion tangencial y normal alternativas

En este caso, como en muchos otros en física, es preferible entender que se está haciendo, es decir el procedimiento e irlo aplicando en lugar de aprenderse estas fórmulas de memoria.

Convendrás conmigo en que, si intentamos aprender física a base de memorizar fórmulas de esta naturaleza, pronto nos quedaremos sin espacio de disco en nuestro cerebro.

Te invito a ver los videos que acompañan esta entrada para que acabes de comprender bien cómo se hace.

Ya estamos mucho más cerca de enfrentarnos a problemas más realistas de la física.

Seguimos avanzando.

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