Como calcular el m贸dulo de un vector, direcci贸n y sentido.

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Qu茅 es el m贸dulo de un vector.

Antes de aprender c贸mo calcular el m贸dulo de un vector, deberemos comprender qu茅 es el m贸dulo de un vector.

Como ya te expliqu茅 en la p谩gina de categoria de magnitudes y unidades, existen dos tipos de magnitudes, las escalares y las vectoriales.

En este contexto, los vectores son la forma que tenemos de representar las magnitudes vectoriales, lo que posteriormente nos permitir谩 operar con ellas.

Un vector es un segmento de recta, definido por dos puntos. Un punto act煤a como origen, y el otro como extremo.

La direcci贸n del vector es la recta sobre la que se sit煤an los dos puntos que la definen.聽

El sentido del vector es del origen hacia el extremo. Esto se indica gr谩ficamente mediante una punta de flecha situada en el extremo alej谩ndose del origen.聽

Por 煤ltimo, el m贸dulo del vector es la longitud del segmento de recta limitado, que representa a escala el valor de la magnitud representada.

Direcci贸n, sentido y m贸dulo de un vector son las caracter铆sticas de un vector y lo definen un铆vocamente.

Como calcular el m贸dulo de un vector.

Cuando queremos hallar el m贸dulo de un vector, si pensamos en la definici贸n de las caracter铆sticas de un vector, lo que deseamos es hallar su longitud.

En f铆sica los vectores se expresan mediante sus componentes como combinaci贸n lineal de los vectores unitarios en la direcci贸n de los ejes. Estos vectores unitarios los llamamos i (eje x) y j (eje y). As铆 por ejemplo si digo que un vector es:

v = 3 i + 2 j

Estoy diciendo que tengo que coger 3 veces el vector unitario en la direcci贸n del eje x, 2 veces el vector unitario en el eje de las y, y sumarlos. El vector resultante es mi vector v.

como calcular el modulo de un vector

Observa la imagen y ver谩s lo que te explicaba en los p谩rrafos anteriores.

Ahora f铆jate en la zona sombreada. Cuando representamos as铆 los vectores, queda definido un tri谩ngulo rect谩ngulo. De este tri谩ngulo nosotros conocemos los catetos c1 y c2, ya que su valor es precisamente el de las componentes del vector.

Si nos acordamos un poquito de las matem谩ticas b谩sicas podremos calcular la longitud de la hipotenusa aplicando el teorema de Pit谩goras. Y esta longitud es, ni m谩s ni menos que el m贸dulo de v que busc谩bamos.

El teorema de Pit谩goras nos dice que:

h2 = c12 + c22

As铆 pues, podremos decir que el m贸dulo de un vector es la ra铆z cuadrada de la suma de sus componentes al cuadrado.

F贸rmula para hallar el m贸dulo de un vector.

Ahora estamos ya en disposici贸n de obtener una f贸rmula v谩lida para el c谩lculo del m贸dulo de un vector.

Dado un vector, v = vx i + vy j

Su m贸dulo puede calcularse como:

|v| = raiz (vx2 + vy2)

Ejercicio resuelto calculo m贸dulo de un vector.

Aprovechando esta f贸rmula vamos a calcular el m贸dulo del vector que hab铆amos representado anteriormente.

v = 3 i + 2 j

As铆 pues, vx = 3, vy = 2,聽y, por lo tanto:

|v| = raiz (32 + 22) = raiz (9 + 4) = raiz (13) 鈮 3,61 u.

Como ves es muy f谩cil obtener el m贸dulo de un vector, y por tanto el valor de la magnitud a la que representa.

M贸dulo de un vector de 3 componentes

En determinados momentos, deberemos trabajar en el espacio y no en el plano.聽

En ese momento nuestros vectores pasar谩n a tener 3 componentes, ya que tendremos que incorporar un eje cartesiano, eje z, cuyo vector unitario es k.

Nuestros vectores pasaran a tener la siguiente forma:

v聽= vxi聽+ vyj + vz k

El m贸dulo de estos vectores puede calcularse de forma an谩loga al de los de dos componentes.

Aunque no haremos la demostraci贸n aqu铆, la f贸rmula para calcular el m贸dulo de vectores de 3 componentes ser铆a la siguiente:聽

|v| = raiz (vx2 + vy2聽+ vz2)

Ejercicio resuelto calcular el m贸dulo de un vector de 3 componentes

Dado el vector:

v = 2聽i – 3聽j + 聽k

Hallar su m贸dulo.

Por aplicaci贸n de la f贸rmula tendremos que:聽

vx= 2, vy = -3, vz= 1

Sustituyendo en la f贸rmula:

|v| = raiz (22 + (-3)2聽+ 12) = raiz (4 + 9 + 1) = raiz (14) 鈮 3,74

Como ves, este c谩lculo no presenta ninguna dificultad a帽adida sobre el anterior.

Ahora ya est谩s en disposici贸n de calcular el valor de las magnitudes expresadas como vector, pero para tener la informaci贸n de la magnitud completa nos interesa tambi茅n conocer su direcci贸n.

C贸mo calcular la direcci贸n de un vector.

Una vez hemos aprendido como calcular el m贸dulo de un vector, vamos a aprender a indicar su direcci贸n y sentido. 

Como hemos dicho al principio, para ello tenemos que indicar la recta sobre la que se encuentra el vector y hacia donde se dirige.

Para hacer esto basta con que indiquemos el 谩ngulo que forma la recta con el eje de las x.

direccion de un vector y sentido, angulo formado con el eje x

Si observas la figura de al lado podr铆amos definir la direcci贸n y sentido del vector v, diciendo que el vector forma un 谩ngulo de 33,69 潞 con el eje OX.

Este 谩ngulo es muy f谩cil de calcular si tenemos en cuenta que forma parte de un tri谩ngulo rect谩ngulo y por tanto podemos utilizar las definiciones de las razones trigonom茅tricas para obtenerlo.

En un tri谩ngulo rect谩ngulo se cumple que:

tg 蠁= cateto opuesto/cateto adyacente = c2/c1

En nuestro caso dichos catetos miden lo mismo que las componentes del vector, vy y vx respectivamente.

Podemos ahora establecer una f贸rmula para calcular la direcci贸n de un vector.

Como tg 蠁 = vy/vx

El 谩ngulo puede calcularse como:

蠁= arctg (vy/vx)

Ahora bien, hacer esto, 驴nos da informaci贸n sobre cu谩l es el sentido del vector?

La respuesta es que s铆.聽

Como calcular el sentido de un vector.

calcular el sentido de un vector

Observa la figura adjunta.

Ahora, la direcci贸n es la misma, pero el sentido es el contrario. Como resultado, el 谩ngulo que indicaremos no ser谩 33,69潞 como anteriormente sino:聽

蠁= 180 + 33,69 = 213,69潞

De esta manera sabemos que el vector est谩 dirigido hacia el tercer cuadrante, y por lo tanto conocemos su sentido adem谩s de su direcci贸n.

Como ver谩s en los ejercicios del video y el que te presento a continuaci贸n, la calculadora, cuando hagas la operaci贸n arcotangente, s贸lo te dar谩 un resultado que te colocar谩 el vector en primer o cuarto cuadrante. 

Ser谩s t煤 el que analizando los signos de las componentes vx y vy deber谩s analizar hacia qu茅 cuadrante se dirige el vector siguiendo lo que se indica en la siguiente tabla.

SIGNO DE LAS COMPONENTESQUADRANTE AL QUE SE DIRIGE EL VECTOR
VXVY
++primero
+segundo
tercero
+cuarto

Una vez que tengas claro esto, s贸lo deber谩s hacer la operaci贸n arctg en tu calculadora (en algunas calculadoras lo indica como tg-1), y el valor absoluto del 谩ngulo que te d茅 蠁, colocarlo en el cuadrante apropiado del siguiente modo:

primer cuadrante: 伪 = 蠁

segundo cuadrante:聽伪 = 180 – 蠁

tercer cuadrante:聽伪 = 180 + 蠁

cuarto cuadrante:聽伪 = 180 – 蠁

伪 ser谩 entonces el 谩ngulo que te indicar谩, adem谩s de la direcci贸n el sentido del vector.

Como ves, ya somos capaces de calcular el m贸dulo, la direcci贸n y el sentido de un vector a partir de sus componentes vx y vy. Esto ser谩 fundamental cada vez que nos enfrentemos a resolver problemas de f铆sica en los que intervengan magnitudes vectoriales.

Ya hemos dado un pasito m谩s en nuestro conocimiento de la f铆sica. Continuamos.

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