Qué es el módulo de un vector.
Antes de aprender cómo calcular el módulo de un vector, deberemos comprender qué es el módulo de un vector.
Como ya te expliqué en la página de categoria de magnitudes y unidades, existen dos tipos de magnitudes, las escalares y las vectoriales.
En este contexto, los vectores son la forma que tenemos de representar las magnitudes vectoriales, lo que posteriormente nos permitirá operar con ellas.
Un vector es un segmento de recta, definido por dos puntos. Un punto actúa como origen, y el otro como extremo.
La dirección del vector es la recta sobre la que se sitúan los dos puntos que la definen.
El sentido del vector es del origen hacia el extremo. Esto se indica gráficamente mediante una punta de flecha situada en el extremo alejándose del origen.
Por último, el módulo del vector es la longitud del segmento de recta limitado, que representa a escala el valor de la magnitud representada.
Dirección, sentido y módulo de un vector son las características de un vector y lo definen unívocamente.
Como calcular el módulo de un vector.
Cuando queremos hallar el módulo de un vector, si pensamos en la definición de las características de un vector, lo que deseamos es hallar su longitud.
En física los vectores se expresan mediante sus componentes como combinación lineal de los vectores unitarios en la dirección de los ejes. Estos vectores unitarios los llamamos i (eje x) y j (eje y). Así por ejemplo si digo que un vector es:
v = 3 i + 2 j
Estoy diciendo que tengo que coger 3 veces el vector unitario en la dirección del eje x, 2 veces el vector unitario en el eje de las y, y sumarlos. El vector resultante es mi vector v.
Observa la imagen y verás lo que te explicaba en los párrafos anteriores.
Ahora fíjate en la zona sombreada. Cuando representamos así los vectores, queda definido un triángulo rectángulo. De este triángulo nosotros conocemos los catetos c1 y c2, ya que su valor es precisamente el de las componentes del vector.
Si nos acordamos un poquito de las matemáticas básicas podremos calcular la longitud de la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras. Y esta longitud es, ni más ni menos que el módulo de v que buscábamos.
El teorema de Pitágoras nos dice que:
h2 = c12 + c22
Así pues, podremos decir que el módulo de un vector es la raíz cuadrada de la suma de sus componentes al cuadrado.
Fórmula para hallar el módulo de un vector.
Ahora estamos ya en disposición de obtener una fórmula válida para el cálculo del módulo de un vector.
Dado un vector, v = vx i + vy j
Su módulo puede calcularse como:
|v| = raiz (vx2 + vy2)
Ejercicio resuelto calculo módulo de un vector.
Aprovechando esta fórmula vamos a calcular el módulo del vector que habíamos representado anteriormente.
v = 3 i + 2 j
Así pues, vx = 3, vy = 2, y, por lo tanto:
|v| = raiz (32 + 22) = raiz (9 + 4) = raiz (13) ≈ 3,61 u.
Como ves es muy fácil obtener el módulo de un vector, y por tanto el valor de la magnitud a la que representa.
Módulo de un vector de 3 componentes
En determinados momentos, deberemos trabajar en el espacio y no en el plano.
En ese momento nuestros vectores pasarán a tener 3 componentes, ya que tendremos que incorporar un eje cartesiano, eje z, cuyo vector unitario es k.
Nuestros vectores pasaran a tener la siguiente forma:
v = vx i + vy j + vz k
El módulo de estos vectores puede calcularse de forma análoga al de los de dos componentes.
Aunque no haremos la demostración aquí, la fórmula para calcular el módulo de vectores de 3 componentes sería la siguiente:
|v| = raiz (vx2 + vy2 + vz2)
Ejercicio resuelto calcular el módulo de un vector de 3 componentes
Dado el vector:
v = 2 i – 3 j + k
Hallar su módulo.
Por aplicación de la fórmula tendremos que:
vx= 2, vy = -3, vz= 1
Sustituyendo en la fórmula:
|v| = raiz (22 + (-3)2 + 12) = raiz (4 + 9 + 1) = raiz (14) ≈ 3,74
Como ves, este cálculo no presenta ninguna dificultad añadida sobre el anterior.
Ahora ya estás en disposición de calcular el valor de las magnitudes expresadas como vector, pero para tener la información de la magnitud completa nos interesa también conocer su dirección.
Cómo calcular la dirección de un vector.
Una vez hemos aprendido como calcular el módulo de un vector, vamos a aprender a indicar su dirección y sentido.
Como hemos dicho al principio, para ello tenemos que indicar la recta sobre la que se encuentra el vector y hacia donde se dirige.
Para hacer esto basta con que indiquemos el ángulo que forma la recta con el eje de las x.
Si observas la figura de al lado podríamos definir la dirección y sentido del vector v, diciendo que el vector forma un ángulo de 33,69 º con el eje OX.
Este ángulo es muy fácil de calcular si tenemos en cuenta que forma parte de un triángulo rectángulo y por tanto podemos utilizar las definiciones de las razones trigonométricas para obtenerlo.
En un triángulo rectángulo se cumple que:
tg φ= cateto opuesto/cateto adyacente = c2/c1
En nuestro caso dichos catetos miden lo mismo que las componentes del vector, vy y vx respectivamente.
Podemos ahora establecer una fórmula para calcular la dirección de un vector.
Como tg φ = vy/vx
El ángulo puede calcularse como:
φ= arctg (vy/vx)
Ahora bien, hacer esto, ¿nos da información sobre cuál es el sentido del vector?
La respuesta es que sí.
Como calcular el sentido de un vector.
Observa la figura adjunta.
Ahora, la dirección es la misma, pero el sentido es el contrario. Como resultado, el ángulo que indicaremos no será 33,69º como anteriormente sino:
φ= 180 + 33,69 = 213,69º
De esta manera sabemos que el vector está dirigido hacia el tercer cuadrante, y por lo tanto conocemos su sentido además de su dirección.
Como verás en los ejercicios del video y el que te presento a continuación, la calculadora, cuando hagas la operación arcotangente, sólo te dará un resultado que te colocará el vector en primer o cuarto cuadrante.
Serás tú el que analizando los signos de las componentes vx y vy deberás analizar hacia qué cuadrante se dirige el vector siguiendo lo que se indica en la siguiente tabla.
| SIGNO DE LAS COMPONENTES | QUADRANTE AL QUE SE DIRIGE EL VECTOR | |
| VX | VY | |
| + | + | primero |
| – | + | segundo |
| – | – | tercero |
| + | – | cuarto |
Una vez que tengas claro esto, sólo deberás hacer la operación arctg en tu calculadora (en algunas calculadoras lo indica como tg-1), y el valor absoluto del ángulo que te dé φ, colocarlo en el cuadrante apropiado del siguiente modo:
primer cuadrante: α = φ
segundo cuadrante: α = 180 – φ
tercer cuadrante: α = 180 + φ
cuarto cuadrante: α = 180 – φ
α será entonces el ángulo que te indicará, además de la dirección el sentido del vector.
Como ves, ya somos capaces de calcular el módulo, la dirección y el sentido de un vector a partir de sus componentes vx y vy. Esto será fundamental cada vez que nos enfrentemos a resolver problemas de física en los que intervengan magnitudes vectoriales.
Ya hemos dado un pasito más en nuestro conocimiento de la física. Continuamos.